ЗАДАЧА ПО ГЕОМЕТРИИ: СРОЧНО

Копошилки

Содержимое статьи:

• Куб ABCDA1B1C1D1
• P - середина A1D1
• М делит ребро АВ в отношении 1:2 (от А)
• К делит ребро СС1 в отношении 2:1 (от С1)
  Найти: в каком отношении плоскость РМК делит отрезок D1C1 (от С1)
  Решение:
  
  1. Построение сечений:
• Плоскость РМК пересекает плоскость DCC1 по прямой PN
• PN также пересекает отрезок D1C1 в точке X
  
  2. Доказательство:
• РМ параллельно С1К (построение)
• С1К лежит в плоскости DCC1 (построение)
• Следовательно, РМ параллельно DCC1
• PN перпендикулярна DCC1 (как следствие предыдущего)
  
  3. Построение в сечении:
• Рассмотрим сечение по плоскости PN.
• P является серединой A1D1, следовательно, PX = XD1 (по теореме о средней линии треугольника)
• М делит АВ в отношении 1:2, следовательно, AX = XB (аналогично)
• К делит СС1 в отношении 2:1, следовательно, XK = 2KC (аналогично)
  
  4. Теорема Фалеса:
• Поскольку PX = XD1, AX = XB и РМ параллельно С1К, то по теореме Фалеса:
• XC : CD = 2 : 1