Задача по геометрии с параллельными прямыми

Содержимое статьи:

• Решение:

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C
• Прямая МК, параллельная стороне ВС
• Точки пересечения МК со сторонами АС и ВА: М и К соответственно
• АК = 10
• АМ = 6
• СМ = 12
  Найти:
• ВС
  

  Решение:

  Поскольку прямая МК параллельна стороне ВС, то

• Углы АМК и КМС равны (как накрест лежащие при секущей АК и параллельных прямых МК и ВС)
• Угол АМК является внешним по отношению к треугольнику МКС, поэтому сумма его углов равна сумме углов противоположной стороны
• Углы МКС и СМК также равны (как накрест лежащие при секущей МК и параллельных прямых ВС и АС)
  Следовательно,
  

  Угол АМК = Угол КМС = Угол МКС = Угол СМК

  Из равенства углов АМК и КМС следует, что треугольники АМК и КМС подобны по двум углам.
  Соотношение сторон подобных треугольников равно:

  АК/КМ = АМ/МК = СМ/МС

  Подставив данные из задачи, получим:

  10/КМ = 6/МК = 12/МС

  Обозначим КМ = x и МС = y. Тогда:

  10/x = 6/y = 12/y

  Из последнего равенства следует, что x = 6. Подставив это в первое равенство, получим:

  10/6 = 12/y

  Отсюда, y = 12.
  Следовательно:

  МС = y = 12

  Поскольку треугольник АВС прямоугольный, то:

  ВС² = АВ² + АС²

  В то же время,

  АС = АМ + МС = 6 + 12 = 18

  Подставив значения АС и АМ в первое уравнение, получим:

  ВС² = 10² + 18² = 100 + 324 = 424

  Отсюда,

  ВС = √424 ≈ 20,58